Como integrar até mesmo poderes de seno e cosseno

Integração de funções trigonométricas é problemas de cálculo básicas dadas aos estudantes. integração trigonométricas é baseado em uma variedade de identidades que estão disponíveis para o aluno. Saber quais propriedades irá calcular usando a integração simples (até mesmo poderes de seno e cosseno).

instruções

  • 1

    Transforma integração em termos de seno e cosseno, usando a igualdade de Pitágoras. Isto indica que o pecado ^ 2 (x) + cos ^ 2 (X) = 1. Se o integrando contém poderes de seno e co-seno, em seguida, sin ^ m (x) cos ^ n (x) pode ser escrita como sin ^ {2k} (x) cos ^ n (x) = cos ^ n (x) (1 - cos ^ 2 (x)) ^ k. Portanto exponenciação pode ser expandida para a soma de até mesmo poderes de co-seno. Por exemplo, se o integrando é sen ^ 4 (x) cos ^ 4 (X), a identidade de Pitágoras produz cos ^ 4 (x) (1 - cos ^ 2 (x)) ^ 2 = cos ^ 4 (x) (1 - 2 cos ^ 2 (x) + cos ^ 4 (x)) = cos ^ 4 (x) - 2cos ^ 6 (x) + cos ^ 8 (x).

  • 2

    Integração utiliza a técnica de redução para potências mais baixas de cada prazo. Estas identidades indicam que, para um par de energia n, o integrante de sin ^ n (x), Int ^ n {sen (x)} é: int {sen ^ n (x)} = -sin ^ (n - 1) (x) cos (x) / n + (n - 1) / n * int {sen ^ (n - 2) (x)} e co-seno: int {cos ^ n (x)} = cos ^ (n - 1) (x) sen (x) / n + (n - 1) / n * int {cos ^ (n - 2) (x)} Use estas identidades para diminuir poderes um integrante quer cos ^ 2 (X ) ou sin ^ 2 (x). No nosso exemplo, acima, a integração do segundo termo da -2cos ^ 6 (x) pode ser reduzida para: int {-2cos ^ 6 (x)} = -2 [cos ^ 5 (x) sen (x) / 6 + 5 / 6 * int {cos ^ 4 (x)}] = -2 [cos ^ 5 (x) sen (x) / 6 + 5/6 * (cos ^ 3 (x) sen (x) / 4 + 3 / 4 * int {cos ^ 2 (x)})] = cos ^ 5 (x) sen (x) / 3 a 12/5 * cos ^ 3 (x) sen (x) - 15/12 * cos {int ^ 2 (x)}.

  • 3

    Use desclassificação duplo ângulo. Isso indica que o pecado ^ 2 (x) = (1 - cos (2x)) / 2 ^ 2 e cos (x) = (1 + cos (2x)) / 2. Isto substitui o último 2 ou cos ^ sin ^ 2 integração da cadeia acima. Após a substituição, a integral vai ser simples de executar: int {cos ^ 2 (x)} = int {(1 + cos (2x)) / 2} = (2x + sen (2x)) / 4 e int { sin ^ 2 (x)} = int {(1 - cos (2x)) / 2} = (2x - sin (2x)) / 4. No nosso exemplo acima para -2cos ^ 6 (x): int {-2cos ^ 6 (x)} = cos ^ 5 (x) sen (x) / 3 a 12/5 * cos ^ 3 (x) sen (x) - 15/48 * sen (2x) - 15/24 * 2x com a soma de uma constante de integração. Os outros termos do integral original pode ser tratado da mesma forma e pode chegar a equação final.

  • 4

    Combine termos e aplica limites de integração. Neste ponto, você deve ter uma longa cadeia de termos de integração. Os termos comuns são usados ​​para combinar vários elementos para simplificar a soma de integração. Se houver limites de integração, aplicá-los para simplificar um resultado numérico. Se não houver nenhum, então deixado como está ea soma equação C + considerar a constante de integração.

Dicas:

  • Certifique-se de lidar com cada termo separadamente e com cuidado. Como o aumento seno e co-seno poderes, assim será os termos individuais para integrar.